http://www.bikeit.eclipse.co.uk/cyclingprelycra/images/constrictor_rims.jpg
велосипедные колеса с ободами из дерева

https://www.youtube.com/watch?v=cfkvx_jhPUU
всё уже придумано, испытано

Загуглите «африканский самокат». Распространён, как понимаю, там, где дороги уже построили качественные, а денег даже на велосипед нету. На горку закатили, под горку своим ходом.
Но даже римские дороги для него не совсем подойдут. Там надо большие колёса, как у арбы или китайской одноколёсной тележки.
https://pikabu.ru/story/neveroyatnaya_istoriya_tachki_v_kitae_4271378

Где более-менее развита речная сеть, грузовые повозки вообще не приживутся. Вьетнамцы прокопали сеть каналов ещё в древности, и плавают на баржах. Ну и Меконг вполне разделяется на кучу рукавов

«Ну вы ещё подеритесь, горячие финские парни…»
Давайте по порядку:
1. Что понимать под словом «велосипед»
2. О каких конкретно временах/технологиях/условиях эксплуатации/требованиях к «машине» говорим.
3. Возможности попаданца-велоделателя.
Поехали.
Велосипед — одно- и более колесный экипаж, движимый мускульной силой через какую-либо трансмиссию на ведущее колесо/колёса. Значит велик может быть как одноколесный — цирковой, двуколесный классика или даже тандем (паралельный/последовательный), трех- и более колесный (детский, грузовой, грузо-пассажирский типа рикша). Например трехколесный грузовой «обратной» схемы: спереди два колеса управляемых, между ними грузовой короб/кресло пассажира, заднее колесо одно и приводится педалями либо через цепную передачу, либо(ранняя версия для 17-18 века) педалями через пару шатунов (кривошипы смещены на 90 градусов), как вариант — качающиеся педали и кривошипы — на задней оси. Ещё вариант — педали прямо на оси заднего колеса, для грузовой версии велика вполне допустимая компоновка. Думае дальше: велик грузовой, значит высоких скоростей от него ждать не стоит, выпереть бы груз в подъём, отсюда: передаточное отношение от педалей на заднее колесо должно быть небольшим, т.е. педали прямо на задней оси или шатунная схема к месту и вполне себя оправдывают. Далее ременная передача плоским кожанным ремнем: а она-то вам чем не угодила? Ремешок шириной в дюйм на дереянных шкивах диаметром от 100 мм и выше даже при натяжении всего в 5 кг и захочешь а не сдвинешь, не скользнёт, скорее сам пукнешь. Натяжной ролик на него или механизм натяжения сочинить хоть на клиньях — вообще не проблема. Не нравится ременная трансмиссия? Быстро тогда сочиняй кузнечно-прессовое оборудование и оснастку, начинай штамповать/клепать велоцепи/звёзды саженями и пудами.
Материалы для постройки: самое доступное — дерево. Рассмотрим гнутые из ротанга/ивы легкие и прочные рамы и вилки. Почему-бы не сотворить из того-же материала и колёса? Обод готового колеса оборачиваем в 2-3 слоя сыромятной кожей, и после просушки пропитываем их жиром/салом/льняным маслом (для водоотталкивания). Ступица — на манер тележной, точеная из березы и т.п. Точеные-же и шкивы. Шорник вырежет/сошьет ремень, углежоги дадут дегтя на смазку, кузнец выкует оси и др. немногочисленные железные детали. Нет втулки с обгонной муфтой? Так ведь и без них в конце 18-го — начале 19-го веков даже в таком виде велик — настоящая вундервафля. Можно просто на ступицу поставить шкив через храповик-трещётку, а колодку тормоза вывести через верёвочную тягу на рычаг прямо на раме.
Но если вокруг царит век пара и есть деньги и доступ к первым металлорежущим токарным и не только станкам — само Провидение даёт тебе возможность соорудить трансмиссию наподобие современных. Вот с рамой будет некоторый затык: тонкие стальные трубки если и смогут изготовить, то вот сварить их как по современному в легкую и прочную раму вряд-ли смогут. Так что готовься морально к тому что рама будет либо тяжеленная, либо деревянная. А каучук уже давно открыли, мир только ждёт изобретателя резины и пневматических шин, армированных покрышек. Хотя на первых порах покрышки могут быть и кожанными.
Далее думаем: на дворе первая половина 19 века, века пара, века железа. А тепловой двигатель всего один и тот только на паровозах, пароходах, паровых стационарах. А ты изобретаешь велосипед, а деньги на строительство завода и рекламное проталкивание продукции нужны, а где взять? Срочно изобретай калоризаторный двигатель, он-же семидизель, он-же болиндер, он-же полудизель. Почему его? Отвечу: жрёт почти любое жидкое топливо от дегтя до растительного масла и самогона из навоза, не требует электрической системы зажигания, технологически на уровне тех-же паровых машин тех-же времён. Вполне будет востребован там где надо побыстрей завестись и сделать работу, занимая при этом минимум места и усилий обслуживающего персонала. Тогда-же: изобрети капсюль, капсюльное оружие и замок,капсюльный револьвер, изобрети патрон капсюльный, сперва для игольчатых ружей, потом привычный унитарный (нефиг хроноаборигенов сразу баловать, надо с них стричь зелень поступательно и постоянно), изобрети телеграф и телефон, финансовую пирамиду, наконец, изобрети!

Изменить крутящий момент тут нельзя, то есть единственный плюс это сдвинуть седока и поставить центр тяжести между колесами. Так делали

https://en.wikipedia.org/wiki/American_Star_Bicycle#/media/File:39_x_24_Star_Bicycle.jpg

но ранние тяжелые велосипеды банально сложно разогнать до больших скоростей, так что усложнение привода не так интересно. А по мере совершенствования уже можно и цепь сделать. В общем имхо как и в реале — будет интересно в небольшом диапазоне времени, как и в реале.

А как они будут взаимодействовать с осью колеса/педали?

Тут художник немного нафантазировал. Там была не роликовая цепь, а плоская https://en.wikipedia.org/wiki/File:Flat_chain_on_field_cultivator.JPG

Такая тоже юзалась в ранней машинерии, но для доиндустриала я сомневаюсь в возможности сделать дешевую и надежную цепь.

Зачем вообще цепь? Для реалистичных скоростей прямого привода от педалей вполне достаточно.

//Берем не велосипед (не годится с полной очевидностью: цепной передачи быть не может), а вместо того берем этакий самокат-дрезину. Теперь понятно?//
А почему цепной передачи быть не может если она тогда(в древнем риме) была?
Напомню про «полибол Дионисия»
http://s00.yaplakal.com/pics/pics_preview/9/4/5/10200549.jpg
Вполне себе развитая цепная передача!

велосипед будет востребован там, где лошади далеко не у всех

а в какой-нибудь Монголии, где пеших не в принципе потребности в нём тоже не будет